Ce (nu) mai vedem în matematica de gimnaziu
Un început promițător
Un detaliu remarcabil din datele TIMSS 2023 este că în România, aproape jumătate dintre elevii de clasa a IV-a declară că le place foarte mult matematica (49%) - comparativ cu doar 26% în Finlanda, 22% în Japonia și 33% în Singapore, țări renumite pentru excelența în educația matematică.
Mai mult, România s-a situat pe locul 6 în Europa în aceeași evaluare, cu 50% dintre elevi de clasa a IV-a depășind nivelul funcțional. Asta înseamnă că pot face conexiuni între concepte sau reprezentări în contexte extinse, nu doar să aplice rețete în situații standard. În plus, 16% ating nivelul „avansat” (în primele 10 scoruri din lume), demonstrând capacitatea de a selecta, conecta și aplica informații pentru a rezolva probleme prin alegerea unor operații potrivite. Nu vorbim doar de „elevi buni”, ci de copii care manifestă deja un tip de gândire matematică aplicată, apropiată de cea cerută în evaluări precum PISA. Este un rezultat care ar trebui nu doar celebrat, ci și consolidat - iar tranziția către gimnaziu ar trebui să continue dezvoltarea acestor abilități.
Care este imaginea pentru clasa a VIII-a?
Aici, proporția elevilor care spun că le place foarte mult matematica scade dramatic la doar 20%. Această cădere de la a IV-a la a VIII-a se manifestă în toate țările, dar în România este semnificativ mai abruptă decât în alte țări incluse în studiul TIMSS. Deși testările pentru România nu sunt longitudinale și lipsesc corelări directe între cohorte, tendința de regres este clară. Este un contrast puternic față de clasa a IV-a.
În paralel cu această prăbușire a entuziasmului, scad și performanțele: doar 9% dintre elevi mai ating nivelul „avansat”, iar procentul celor care depășesc nivelul funcțional se reduce la 31%. Cu alte cuvinte, doar 4 din 10 elevi români reușesc să opereze cu idei matematice într-un mod flexibil și transferabil la finalul ciclului gimnazial. Restul se opresc la niveluri mai simple: aplicare procedurală sau recunoaștere de forme și reguli de bază.
Ce se întâmplă între acești patru ani?
Scăderea entuziasmului față de matematică și rezultatele mai slabe de la finalul clasei a VIII-a - în contrast cu startul încurajator din primar - ne invită să reflectăm, cu onestitate, la felul în care sprijinim înțelegerea matematicii în gimnaziu.
Ce se întâmplă, de fapt, între acești ani? În acest articol, încercăm să înțelegem unde se pierde firul sensului matematic, ce ne arată cercetările și cum arată practicile din alte sisteme educaționale. Mai ales, ne întoarcem spre ceea ce avem deja: o programă care, în ciuda percepțiilor, oferă spațiu real pentru o predare mai clară, mai vizuală și mai aproape de gândirea elevilor.
O observație empirică
Nu avem (încă) o cercetare riguroasă pe această temă, dar o privire atentă în conținutul manualelor, al auxiliarelor și testelor recomandate ne arată un tipar clar: în școlile românești, după ciclul primar, matematica devine brusc abstractă.
În ciclul primar, predarea matematicii se bazează firesc pe reprezentări concrete și vizuale. De exemplu, când învățătoarea introduce adunarea fracțiilor precum 1/2 + 1/4, folosește adesea cercuri sau dreptunghiuri colorate pentru a arăta părțile din întreg, ajutând copilul să înțeleagă de ce este nevoie de un numitor comun.
În gimnaziu însă, profesorul preia o clasă care „știe deja să calculeze” - și, pornind de la această presupunere, sare peste fazele vizuale și de conectare. Exercițiul devine direct simbolic: „1/2 + 1/4 = 2/4 + 1/4 = 3/4”, fără niciun suport vizual, fără nicio legătură vizibilă între imagine și simbol.
Această schimbare bruscă, de la manipulare la formalism, face ca elevul să nu mai vadă ceea ce face, ci doar să execute.
La DataMathLab, când le-am pus profesorilor întrebarea „Credeți că există creier matematic?”, mulți au răspuns afirmativ. Când întrebarea a fost dusă și către elevi, răspunsul a fost și mai clar: da, trebuie să ai un creier special ca să te pricepi la matematică.
Și cum să nu îi înțelegem, când la clasa a V-a sunt puși în fața unor explicații precum aceasta:
Este un exemplu elocvent de abstractizare precoce - o lecție care explică transformarea unei fracții supraunitare folosind teorema împărțirii cu rest, într-un limbaj tehnic, bazat pe notații formale (x, y, z, r), fără niciun sprijin vizual sau contextual. Nu există o ancorare în manipulare sau model - doar simboluri și reguli.
Trecerea la notații și simboluri abstracte nu este o simplă alegere de stil de predare. Este o pierdere de sens matematic. Reprezentările folosite în ciclu primar nu sunt doar metode simpatice de introducere a conceptelor - sunt forme autentice de gândire matematică. Iar aceste forme trebuie menținute și integrate gradual, până când elevul poate opera autonom în registrul abstract.
Tranziția de la concret la abstract nu se întâmplă de la sine. Ea trebuie orchestrată de profesorii de gimnaziu. Elevii au nevoie ca simbolurile pe care le folosesc să fie în continuare conectate la înțelesuri. Să poată răspunde la întrebarea: ce înseamnă cu adevărat ceea ce scriu aici?
O alternativă pentru explicația abstractă de mai sus: construcția conceptului de fracție supraunitară – Clasa a V-a (conceput de Daniela Vasile)
Organizare: Clasa este împărțită în grupe de 3-4 elevi. Fiecare grupă primește două tipuri de obiecte din hârtie: cercuri colorate, de exemplu roșii (3-4 bucăți) și coli A4, de exemplu verzi (3-4 bucăți).
Sarcini pentru elevi: Decupați 2/3 dintr-un cerc și 1/4 dintr-o coală A4. Reflectați: Ce înseamnă 5/3? Cum îl putem reprezenta vizual folosind obiectele de pe banca? Cum putem regrupa treimile? Răspunsuri posibile: 2/3+2/3+1/3, 3/3+2/3, 1+2/3 ⇒ 1 ⅔; Ce diferență este între 1 2/3 și 1 x 2/3?
Profesorul introduce terminologia: fracții subunitare, fracții supraunitare, număr mixt. Elevii completează un tabel cu următoarele coloane:
Fracția
Este subunitară/ supraunitară?
Reprezentare ca număr mixt
Descriere în cuvinte a transformării
Întrebări de reflecție: Am înțeles că … (elevii completează) Răspuns posibil: două forme echivalente pot fi utile în contexte diferite. Ce am învățat? Răspuns posibil: Pot transforma o fracție în altă formă și știu când e mai eficient să folosesc fiecare formă. Cum am învățat?
Un raport esențial - studiul video TIMSS 1999 (Reports - TIMSSVIDEO) - oferă un cadru comparativ interesant. Analizând lecții de matematică din mai multe țări, cercetătorii au observat că în Japonia, o țară cu performanțe ridicate, peste jumătate din problemele discutate în clasă erau construite pentru a face conexiuni între concepte și proceduri, nu doar pentru a repeta algoritmi. Lecțiile erau construite pe ideea de coerență conceptuală, nu doar pe „acoperirea materiei”.
În schimb, în Cehia - o țară cu un sistem educațional provenit din aceeași tradiție est-europeană ca România - majoritatea lecțiilor urmăreau aplicarea corectă a algoritmilor, cu accent minim pe reprezentări sau înțelegere conceptuală. Problemele nu erau construite pentru a ilustra o idee, ci pentru a exersa un tipar.
Privind acest contrast, devine clar că nu doar curriculumul sau testarea contează, ci și modul în care predăm efectiv la clasă. Iar în România, tranziția de la ciclul primar - unde sensul e construit vizual - la gimnaziu, unde predomină formalismul, pare să se facă fără punți didactice reale. Acest stil are rădăcini adânci în tradiția formalistă a educației din fostul bloc sovietic, unde matematica era văzută mai degrabă ca un domeniu elitist decât ca un proces cognitiv accesibil tuturor. Nu doar materia devine mai grea, ci și predarea mai opacă. Iar rezultatele vorbesc de la sine.
Prin contrast, în ultimele decenii, sistemele educaționale din Asia (precum Singapore, Japonia, Coreea) și din spațiul anglo-saxon (Marea Britanie, SUA, Australia) au îmbrățișat o pedagogie bazată pe reprezentări multiple - vizuale, concrete, simbolice și contextuale - pentru a susține înțelegerea profundă a conceptelor
La fel, țări precum Finlanda, Suedia, Lituania sau Austria, deși aparțin unor tradiții educaționale diferite, au construit în mod constant un stil de predare centrat pe sens: lecții lente, gândite, bazate pe discuție și reflecție, unde imaginea, contextul și verbalizarea joacă un rol important. În toate aceste sisteme, accentul cade pe învățarea cu sens, nu pe predarea grăbită, și pe cultivarea unui atașament pozitiv față de matematică.
Dar chiar funcționează aceste abordări?
Sunt ele doar niște metode „moderne” sau vorbim despre un fundament real în învățarea matematicii?
Dacă ne uităm la cercetările din ultimele decenii, răspunsul e clar: da, aceste metode funcționează - și nu sunt deloc o invenție „modernă” sau extravagantă. Dimpotrivă, ele au fost fundamentate încă din anii ’60–’70, ca piloni ai învățării durabile în matematică.
Richard Lesh, Thomas Post și Merlyn Behr sunt cercetători americani care, începând din anii ’70–’80, au dezvoltat unele dintre cele mai influente teorii despre modul în care elevii construiesc înțelegerea matematică. Lucrările lor s-au concentrat în special pe rolul reprezentărilor - vizuale, concrete, simbolice - în rezolvarea de probleme. Sunt recunoscuți pentru modelul care a stat la baza conceptului de „traducere între reprezentări”, considerat esențial pentru învățarea profundă în matematică.
Acești autori nu sunt pedagogi alternativi, ci autori de referință în literatura de educație matematică, citați în studii TIMSS și PISA, în ghiduri de formare pentru profesori din SUA, Singapore sau Canada, și chiar în documente ale NCTM (National Council of Teachers of Mathematics).
Conform acestora, învățarea matematicii implică mișcarea flexibilă între diferite forme de reprezentare:
Concrete (manipulative, obiecte fizice)
Picturale (desene, diagrame)
Simbolice (numere, litere, formule)
Verbale (descrieri în limbaj natural)
Contextuale (probleme din viața reală)
Studiile ulterioare au inspirat celebrul CPA (Concret – Pictorial – Abstract), folosit pe scară largă în sistemele asiatice. Acesta propune o progresie clară:
Concret (atingi, construiești – ex.: fracții cu piese de puzzle).
Pictorial (vezi, vizualizezi – ex.: desene, diagrame).
Abstract (gândești prin simboluri – ex.: formule).
Ele argumentează că fără trecerea prin primele două etape, abstractul devine un "cod secret" inaccesibil; iar abstractizarea prematură creează goluri în înțelegere care nu pot fi compensate doar prin exercițiu.
Impactul în clasă?
Cercetările coordonate de OECD arată că atunci când conceptele sunt introduse prin reprezentări vizuale și concrete, crește semnificativ capacitatea elevilor de a face conexiuni, de a raționa și de a rezolva probleme complexe.
Un exemplu concret vine din Singapore unde elevii învață ecuații folosind modelul de bare, o reprezentare pictorială care le permite să vizualizeze relații și cantități.
Studiile arată că acești elevi înțeleg mai bine decât cei care memorează doar formule. (The why, what and how of the ‘Model’ method: a tool for representing and visualising relationships when solving whole number arithmetic word problems | ZDM)
Mai mulți înseamnă mai bine
Jerome Bruner, profesor la Harvard și mai târziu la Oxford, a fost unul dintre cei mai influenți psihologi și pedagogi ai secolului XX. A fost preocupat nu doar de ce învață oamenii, ci mai ales cum învață. A criticat educația bazată pe memorare și a susținut ideea că orice concept, oricât de abstract, poate fi predat într-o formă înțeleasă de copil, dacă este reprezentat adecvat.
Încă din 1966, Bruner argumenta că, dacă predăm direct în limbaj simbolic, fără să trecem prin acțiune (enactiv) și imagine (iconic), riscăm să creăm doar iluzia înțelegerii și să pierdem tocmai pe elevii care nu „văd” încă ideea matematică în mod abstract.
Jo Boaler este o cercetătoare britanică în educația matematică, profesoară la Stanford University, cunoscută la nivel internațional pentru lucrările ei despre: gândirea matematică flexibilă, identitatea elevilor în raport cu matematica, și mai ales pentru combaterea mitului „creierului matematic”. În unul dintre studiile sale de referință (Chapter 7: Identity, Agency and Knowing in Mathematics Worlds) subliniază că predarea abstractă, decontextualizată, afectează disproporționat fetele și elevii din medii dezavantajate.
“Când simbolurile sunt prezentate ca „limbaj pur” fără ancorare în viața reală, fără sprijin vizual sau dialog, elevii care nu se regăsesc în acest mod de a gândi sunt excluși - nu pentru că nu ar fi capabili, ci pentru că li se închide poarta către sens. “
Practicile tradiționale pot perpetua inegalitatea în performanță și reprezentare. Reprezentările multiple, în schimb, creează mai multe uși de acces către înțelegere. Ele transformă matematica dintr-un cod al celor „aleși” într-un limbaj al tuturor.
Țările care obțin constant rezultate bune la evaluările internaționale tip TIMSS și PISA au investit de ani buni în:
lecții axate pe un singur concept, explorat în profunzime,
probleme contextualizate, inspirate din viața și experiența elevilor,
timp pentru reflecție, colaborare și discuții între elevi,
manuale care pun accent pe sens, nu pe viteză sau număr de exerciții,
și mai ales, pe reprezentări vizuale care susțin gândirea.
Dar în România?
Dacă reprezentările multiple funcționează, dacă predarea prin sens e mai eficientă și mai echitabilă - de ce nu sunt ele norma în școlile românești?
Răspunsul nu stă în lipsa de bunăvoință, ci într-o combinație de bariere reale, obstacole culturale și presiuni sistemice. Iată cele mai frecvent invocate de profesori în România:
1. „Nu avem timp să-i punem pe elevi să exploreze”
Aceasta este una dintre cele mai frecvente remarci din partea profesorilor. Presiunea de a acoperi programa, într-un număr limitat de ore, face ca multe lecții să fie livrate rapid, în formatul „predau–rezolvăm–verificăm”. Explorarea, vizualizarea, discuțiile - toate presupun timp. Iar timpul e perceput ca un lux, într-un sistem în care fiecare minut pare contorizat pentru acoperirea programei.
2. Evaluarea finală trage predarea după ea
Testarea standardizată de la finalul clasei a VIII-a are o miză uriașă în România: decide accesul la liceu și influențează traiectoria elevului. Ca urmare, predarea tinde să fie calibrată nu pentru înțelegere profundă, ci pentru performanță procedurală. Profesorii simt că, dacă nu exersează repetitiv, îi lasă pe elevi nepregătiți pentru tipul de itemi cerut în evaluare.
3. Cultura profesională: „așa se face matematică”
În multe cazuri, profesorii actuali predau așa cum au învățat ei înșiși: prin formule, algoritmi, reguli. Reprezentările vizuale sunt văzute uneori ca „jucării” pentru clasele mici, nu ca parte legitimă din matematica „serioasă”. Există încă ideea că matematica este un domeniu abstract, rezervat celor „care au creier pentru asta” iar predarea prin pictorial sau concret este percepută drept o formă de „diluare” a rigorii.
4. Lipsa formării în metode vizuale și exploratorii
Mulți profesori nu au avut oportunitatea de a învăța cum se construiește o lecție cu reprezentări multiple. Nu au văzut modele funcționale, nu au avut resurse potrivite, nu au avut spațiu să exerseze. Mai mult, nu există formare sau sprijin real pentru a construi punți între cicluri. Chiar dacă elevii vin în clasa a V-a cu desene figurative sau metode intuitive de rezolvare, profesorii de gimnaziu nu sunt pregătiți – metodologic sau instituțional – să le continue.
5. Neîncrederea că „merge” cu toți elevii
Un alt obstacol frecvent este ideea că abordarea prin vizual și explorare e bună „doar pentru elevii buni” sau „doar în școli speciale”. În realitate, exact acolo unde e mai mare riscul de abandon, accesul la sens e cel mai vital - dar temerea că „pierdem timpul” blochează adesea schimbarea.
6. Manualele: între formule și aplicații algoritmice
În multe manuale aprobate, predarea începe direct cu simboluri și algoritmi, fără o fază vizuală sau concretă. Reprezentările multiple lipsesc sau sunt tratate superficial, iar contextul real este minimal. Manualele ghidează lecția, iar dacă ele pornesc de la formule, și profesorii vor porni tot de acolo. Iar când elevii nu înțeleg, soluția propusă în mod reflex este mai mult exercițiu, nu un pas înapoi spre sens.
Ce putem face concret, chiar în condițiile actuale?
Schimbarea poate veni dintr-o recalibrare intenționată a predării.
Mulți profesori se întreabă: „E voie?”, „Am timp să predau altfel?”, „Pot să merg în profunzime dacă programa e atât de încărcată?”. Dar adevărul este că programa națională de matematică nu doar permite predarea prin reprezentări multiple și prin sens - ci chiar o recomandă.
Formulări precum cele de mai jos apar în mod constant în programa de gimnaziu:
„selectarea unor strategii personale de rezolvare”,
„transferul cunoștințelor în contexte variate”,
„raționament proporțional în situații de viață”,
„utilizarea reprezentărilor diverse în susținerea înțelegerii.
Asta înseamnă că nu doar formulele contează, ci tocmai procesul, înțelegerea și capacitatea elevului de a face conexiuni. Nu doar evaluarea finală de clasa a VIII-a trebuie să dicteze predarea, ci și competențele reale pe care programa le cere.
Nu totul se poate schimba imediat. Dar ceva se poate schimba în fiecare oră. Iată câteva puncte de plecare:
1. Alegeți o lecție pentru explorare, nu acoperire.
Chiar și într-o unitate aglomerată, alegeți o lecție pe care să o desfășori în profunzime. Puneți accent pe reprezentări, nu pe viteza de execuție. De exemplu, la începutul unității despre rapoarte și proporții, în loc să treceți direct la formule, puteți construi lecția în jurul unei situații vizuale: diagrame, modele de bară sau chiar obiecte și produse adevărate precum o limonadă sau soluție salină pentru castraveți murați.
2. Folosiți un exercițiu din manual ca pretext pentru gândire vizuală.
Manualele nu ajută mereu. Dar un exercițiu poate fi pretextul pentru o reprezentare alternativă, o schemă, un context. Dacă introduceți un concept nou, în loc să îl definiți direct și să dați exemple numerice, propuneți-le elevilor să completeze o diagramă Frayer. Aceasta ajută elevii să-și construiască în mod activ semnificația unui cuvânt sau a unui concept. În general, conceptul este scris în mijlocul unei coli de hârtie care este împărțită în patru zone, fiecare conținând:
Exemple
Non-exemple
Explicații a ceea ce este conceptul
În final, definiția conceptului/semnificația cuvântului
Astfel, treptat elevul dezvoltă el însuși o înțelegere a conceptului, iar definiția finală devine o sinteză a înțelegerii, nu o frază învățată pe dinafară.
Poți adapta diagrama Frayer chiar și pentru concepte mai abstracte, cum ar fi funcția de gradul I.
Un exemplu de diagramă Frayer, în cadrul cursului DataMathlab
3. Refaceți legătura cu ciclul primar.
Elevii vin cu un bagaj vizual, concret. Nu-l tratați ca „deja știut”, ci ca pe un pod care trebuie consolidat. Ajutați-i să vadă cum imaginea devine formulă, cum o relație desenată poate fi exprimată simbolic - așa se continuă învățarea, nu se resetează.
Și, mai ales, colaborați, când puteți, cu învățătoarea. Aflați ce metode vizuale folosește, cum structurează gândirea matematică a copiilor, ce puteți prelua și duce mai departe în clasa a V-a. Continuitatea nu e doar o chestiune de curriculum, ci de relație pedagogică între etape și profesori.
4. Redescoperiți programa ca aliat.
Programa nu e inamicul schimbării. E o resursă care, citită atent, susține predarea pentru înțelegere. Ea oferă competențe clare, direcții de învățare care subliniază nevoia de înțelegere, de conexiuni, de contextualizare.
Programa nu prescrie metode, nu impune algoritmi, nu interzice reprezentări vizuale sau explorarea. Alegerea modului în care predă, ține de expertiza profesorului de gimnaziu și tocmai de aceea implică responsabilitate de a căuta cele mai potrivite abordări pentru elevii, clasa, comunitatea pentru care predă.
În încheiere: un gând personal
Scriu acest articol după doi ani de lucru în programul DataMathLab, unde am privilegiul să lucrez cu profesori de gimnaziu din toată țara. Oameni dedicați, care își pun întrebări reale și care, în ciuda limitărilor de timp și a presiunii testelor, încearcă să adapteze ceea ce fac la ceea ce numim adesea „noua generație” - una despre care se spune că are mai puțină răbdare, mai puțină concentrare, mai puțină „poftă de muncă”.
Eu sunt un om care crede în echitate. În ideea că matematica nu e doar pentru unii. Și m-am apucat să caut: studii, modele, metode care să arate cum se poate face matematică altfel - nu mai ușor, ci mai accesibil, mai inteligent, mai echilibrat. Am descoperit că nu e o iluzie idealistă, ci că există abordări susținute de zeci de ani de cercetare care confirmă exact acest lucru.
La DataMathLab ne luăm în serios acest rol: de a aduce aceste practici și idei în spațiul public din România.
Ne-am bucura ca acest articol să fie citit și de părinți. Pentru că uneori, și noi, ca adulți, ducem mai departe o imagine îngustă a „matematicii adevărate” - cea din culegeri, din concursuri, din formule și din replicile cu „așa am făcut și noi”. Și punem, fără să vrem, presiune pe învățătoare sau pe profesor să „facă serios” - când poate, exact ce pare o joacă (desenul, barele, povestea), e de fapt învățarea profundă.
Matematica de gimnaziu este pentru toți. Iar dacă vrem ca mai mulți copii să o înțeleagă, să o simtă, să o folosească, atunci trebuie să ne uităm cu sinceritate la ce se pierde între clasa a IV-a și a VIII-a.
Și să avem curajul să predăm altfel. Nu în ciuda programei, ci chiar în spiritul ei.
Cu reprezentări. Cu sens. Cu răbdare. Cu convingerea că mai mulți înseamnă, de data asta, mai bine.
Autor: Anca Gaidoș
Mai 2025