Lecția 2: Importanța lui 0 în reprezentarea fracțiilor zecimale. Aplicații

(Durata: 2 ore)

 

Scop

Elevii conștientizează importanța poziției fiecărei cifre în scrierea unui număr și citesc corect numerele zecimale.

Competențe specifice

1.2. Identificarea fracțiilor ordinare sau zecimale în contexte diferite
4.2. Utilizarea limbajului specific fracțiilor/procentelor în situații date
6.2. Reprezentarea matematică, folosind fracțiile, a unei situaţii date, în context intra și  interdisciplinar (geografie, fizică, economie etc.)

Marea idee /
Întrebări esențiale

Fiecare poziție a unei cifre din fracțiile zecimale contribuie la valoarea numărului cu o valoare de zece ori mai mică decât cifra din stânga sa.
Cum decidem unde 0 contează la valoarea numărului și când poate fi el eliminat fără să schimbe valoarea?

Neînțelegeri / greșeli tipice

Elevii au adesea o înțelegere incompletă despre poziția unei cifre într-o fracție zecimală și valoarea asociată poziției respective (exemplul 1). Această neînțelegere conduce la o altă greșeală comună: cifra 0 după virgulă nu este luată în considerare, indiferent de poziția pe care o are (exemplul 2)
Exemplu 1: Care este valoarea asociată cifrei 9 din 721,094?

Unii elevi au tendința de a răspunde că 9 este cifra zecilor sau a sutelor în loc de cifra sutimilor.
Exemplul 2: Numerele 6,03 și 6,3 se confundă.

Numeroși elevi citesc partea zecimală ca o succesiune de cifre.
Exemplu: Numărul 2,437 este citit de unii elevi astfel: „doi virgulă patru trei șapte” în loc de „doi virgulă patru sute treizeci și șapte” sau „doi întregi și patru sute treizeci și șapte miimi”.

Note

În această lecție elevii vor discuta despre semnificația cifrei zero în scrierea fracțiilor zecimale și vor exersa vocabularul specific fracțiilor zecimale (zecimi, sutimi, miimi).

Zero este atât o cifră, cât și un număr și are o istorie interesantă. Rolul cel mai important al cifrei 0 este în scrierea pozițională a numerelor, descoperită, se pare, de matematicienii indieni, de unde a trecut la arabi, care au adus-o în Europa. 

În cadrul lecției se acordă importanță scrierii poziționale a fracțiilor zecimale (semnificației pe care o are poziția pe care o ocupă fiecare cifră în cadrul scrierii numărului sub formă de fracție zecimală). 

Exercițiile propuse vă sprijină în evaluarea formativă și abordarea diferențiată a procesului de predare-învățare.

Activitatea interactivă (Desmos) conține sarcini de lucru pe care elevii le pot rezolva individual, sub monitorizarea dvs sau frontal (mai ales când considerați necesar să îi îndrumați pas cu pas). 

Activitatea interactivă permite evaluarea formativă, iar feedback-ul individual și frontal (în cazul în care mai mulți elevi fac aceeași greșeală) sunt bune ocazii de a corecta erorile și a accelera învățarea.

Intro

Prezentați elevilor următorul paragraf din cartea Numerele naturii - Ireala realitate a imaginaţiei matematice, de Ian Stewart (Editura Humanitas, 2011).

… Între anii 400 şi 1200 d.Cr., a fost inventat conceptul de zero şi a fost acceptat ca număr semnificativ. Dacă dumneavoastră consideraţi stranie acceptarea atât de tardivă a lui zero ca număr, luaţi în considerare faptul că mult timp „unu” nu a fost considerat număr, deoarece se considera că un număr trebuie să reprezinte mai multe lucruri. Multe cărţi de istorie afirmă că ideea de bază a constituit-o aici inventarea unui simbol pentru „nimic”. Aceasta a putut constitui o cheie pentru transformarea aritmeticii într-un lucru practic, dar pentru matematică realizarea de bază a fost conceptul unui nou tip de număr, al unuia care reprezenta ideea concretă de „nimic”. 

Apoi, prezentați paragraful de mai jos din cartea Zero - Biografia unei idei periculoase, de Charles Seife (Editura Humanitas, 2008).

În jurul anului 300 î.Cr., babilonenii au început să folosească două cuie oblice pentru a reprezenta un spațiu gol, echivalent cu o coloană goală pe abac. … Deși era util, zero nu juca decât rol de semn de substituție. … Tot ceea ce făcea era să asigure așezarea la locul potrivit a cifrelor; nu avea o valoare numerică proprie. În definitiv, 000002148 înseamnă același lucru ca și 2148. Un zero dintr-un șir de cifre capătă înțeles doar prin intermediul cifrei din stânga sa. Pe cont propriu, nu însemna …. nimic. Zero era un simplu simbol, nu un număr. Nu avea nici o valoare.

Conduceți discuția cu elevii pentru a clarifica ideile prezentate în cele două paragrafe - după ce sunt definite cuvintele necunoscute de elevi (de exemplu: abac, număr semnificativ etc.) . Câteva întrebări de activare a gândirii:

  • Sunt ideile din cele două paragrafe în contradicție? 

  • Care este diferența dintre zero ca cifră și, respectiv, zero ca număr?

Cuprins

Provocarea 1: Cum citim fracțiile zecimale?
Elevii rezolvă sarcinile de lucru din activitatea Desmos Citirea fracțiilor zecimale. 
Activitatea poate fi rezolvată individual sau frontal (puteți proiecta fiecare pagină a activității).

Provocarea 2: Adevărat sau uneori adevărat?
Elevii vor lucra în perechi și vor folosi, la nevoie, calculatorul. Distribuiți fiecărei perechi de elevi, câte un set de carduri din fișa Întotdeauna adevărat-uneori adevărat.

Elevii discută în pereche, pe rând, afirmațiile A, B, C, D, E, F, G,  pe care le au pe carduri folosind cât mai multe exemple și contraexemple relevante pentru fiecare situație, pentru a ajunge în final la concluzia că afirmația este adevărată sau uneori adevărată. 

Când sunt siguri, așază cardurile pe două coloane, corespunzătoare celor două situații.

Inițiați o discuție pe marginea rezultatelor găsite și cereți elevilor să prezinte exemplele care i-au condus la concluzia finală. 

Justificările elevilor ar putea fi, de exemplu:
Întotdeauna adevărat:
- Afirmația A: Dacă introduc în calculatorul de pe telefon, un număr de forma 02,6, numărul afișat este 2,6.
Este adevărat și pentru toate situațiile următoare: 03 -> 3, 0,28 -> 28, 00,57 -> 0,57
„Dacă introduc un 0 sau mai mulți de 0 înaintea primei cifre a oricărui număr, nu se modifică valoarea sa.” este o afirmație întotdeauna adevărată.
- Afirmația B: Dacă pun cifra zero în „mijlocul” unui număr ca 54, cifra 5 care era pe poziția zecilor se va muta pe poziția sutelor. Această afirmație este de asemenea adevărată pentru un număr ca 5,4 care poate deveni 50,4 sau 5,04. 
„Dacă pun un zero în interiorul unui număr, se modifică valoarea sa”, este o afirmație întotdeauna adevărată.
- Afirmația G: Am transformat fracțiile ordinare în fracții zecimale și am obținut: 0,1; 0,01; 0,001. 
De asemenea am încercat să înlocuiesc numărătorii 1 cu, 2, 3, 4,…, 9 și  am văzut că obțin la fracțiile zecimale, de fiecare data, același număr de zerouri  ca la fracțiile ordinare. Deci afirmația este întotdeauna adevărată.

Uneori adevărat:
Afirmația C: Dacă pun cifra zero în dreapta unui număr natural cifrele care erau pe poziția unităților devin zeci, zecile devin sute, și așa mai departe: 5 -> 50, 26 -> 260, 704 -> 7040.
În schimb, dacă pun cifra zero la dreapta unui număr zecimal, de exemplu 2,3, valoarea sa nu se schimbă.
Am introdus în calculator 2,3 și 2,30 și a afișat același număr 2,3.
Afirmația D: Pentru numere naturale este la fel ca la afirmația C. Am calculat cu calculatorul de pe telefon, și am obținut: 5x10=50, 26x10=260, 704x10=7040. Dar când am calculat pe calculator 2,3x10, am obținut 23.
Afirmația E: Este adevărat pentru situațiile de forma 0,4:10=0,04, dar când am încercat să calculez pe calculatorul de pe telefon 2,4:10, am obținut 0,24, deci nu este adevărat pentru numere zecimale mai mari decât 1.
Afirmația F: Am încercat să introduc în calculatorul de pe telefon, mai multe numere de forma 000327,760000, apoi am apăsat semnul „=” , și s-a afișat numărul 327,76.
În schimb, dacă am introdus un număr ca 000327760000 și am apăsat „=” , calculatorul a afișat 327760000, deci zerourile de la sfârșitul numărului natural nu au dispărut.

Joc: Ghicește fracția zecimală
Se joacă în perechi: Fiecare elev primește o fișă suport (Tablou de bord) și lista cu fracții zecimale.

Fiecare elev alege una dintre fracțiile zecimale, din cele scrise pe fișă și apoi îl scrie pe „TABLOUL DE BORD”  în rubrica „NUMĂRUL MEU” (respectând poziția fiecărei cifre).
Fiecare elev trebuie să ghicească fracția zecimală aleasă de colegul său.

Pentru a ghici fracția zecimală, timp de 3-4 minute unul dintre elevi (elevul A) adresează colegului său (elevul B)  întrebări  la care acesta poate răspunde doar cu DA sau NU.

Pe baza răspunsurilor primite, elevul A elimină fracții zecimale din lista inițială și / sau completează pe „Tabloul de bord” în rubrica „NUMĂRUL TĂU ” cifrele pe care le-a ghicit (pe pozițiile corespunzătoare). Spațiul liber poate fi folosit pentru alte însemnări.

După expirarea timpului sau după ce elevul A a ghicit fracția zecimală, rolurile elevilor A și B se schimbă.

Câștigă elevul care reușește să ghicească numărul colegului în timpul cel mai scurt.

Încheiere

Rugați elevii să noteze un lucru care să le facă gândirea vizibilă (este o rutină pe care o puteți folosi la mai multe ore, pentru a stimula elevii să reflecteze la ce au învățat): Înainte gândeam că…. / Acum gândesc...

Resurse descărcabile

Extra (studiu independent)

Ariana-Stanca Văcărețu, Daniela Vasile, Liliana Olărașu, Simona Covrig

Autori

Clasa a V-a, Fracții zecimale

Categorii

 

Material realizat sub licență Creative Commons 4.0 CC BY-NC-SA Atribuire-Necomercial-Partajare în Condiții Identice (puteți folosi materialul gratuit cu menționarea sursei)

data scienceEchipa Aspire Teachers